Question

【题目】已知函数f（x）=plnx+（p﹣1）x2+1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当P=1时，f（x）≤kx恒成立，求实数k的取值范围；
（3）证明：1n（n+1）＜1+ …+ （n∈N+）．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）= ，

当p≥1时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当p≤0时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减；

当0＜p＜1时，令f′（x）=0，解得x= ．

则当x 时，f′（x）＞0；x 时，f′（x）＜0，

故f（x）在（0， ）上单调递增，在 上单调递减

（2）解：∵x＞0，

∴当p=1时，f（x）≤kx恒成立1+lnx≤kxk≥ ，

令h（x）= ，则k≥h（x）max，

∵h′（x）= =0，得x=1，

且当x∈（0，1），h′（x）＞0；当x∈（1，+∞），h′（x）＜0；

所以h（x）在0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，

所以h（x）max=h（1）=1，

故k≥1．

（3）证明：由（2）知，当k=1时，有f（x）≤x，当x＞1时，f（x）＜x，即lnx＜x﹣1，

∴令x= ，则 ，即 ，

∴ln2﹣ln1＜1， ，

相加得1n（n+1）＜1+ …+

【解析】（1）利用导数来讨论函数的单调性即可，具体的步骤是：（1）确定 f（x）的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数 的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定 的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．（2）当P=1时，f（x）≤kx恒成立，分离参数等价于k≥ ，利用导数求函数h（x）= 的最大值即可求得实数k的取值范围；（3）由（2）知，当k=1时，有f（x）≤x，当x＞1时，f（x）＜x，即lnx＜x﹣1，令x= ，则得到 ，利用导数的运算法则进行化简，然后再相加，即可证得结论．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．