Question

2．求过圆x²+y²+2x-4y-5=0和直线2x+y+4=0的交点且面积最小的圆的方程．

Answer 1

分析 由题意可知，弦长为直径的圆的面积最小．求出半弦长，就是最小的圆的半径，求解即可．

解答 解：圆的圆心坐标为（-1，2），半径为：$\sqrt{10}$；弦心距为：$\frac{|-2+2+4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，弦长为：2$\sqrt{10-\frac{16}{5}}$=2$\sqrt{\frac{34}{5}}$，
过圆x²+y²+2x-4y-5=0的圆心和直线2x+y+4=0垂直的直线方程为：x-2y+5=0．
最小的圆的圆心为x-2y+5=0与直线2x+y+4=0的交点，即：（-$\frac{13}{5}$，$\frac{6}{5}$），
所以所求面积最小的圆方程为：（x+$\frac{13}{5}$）²+（y-$\frac{6}{5}$）²=$\frac{34}{5}$．

点评 本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，圆的面积最小就是圆的半径最小，求出圆心坐标，求出半径即可求出圆的方程，是这一类问题的基本方法．