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【题目】如图所示的多面体中,ABCD是平行四边形,BDEF是矩形,ED⊥面ABCD,∠ABD= ,AB=2AD.
(Ⅰ)求证:平面BDEF⊥平面ADE;
(Ⅱ)若ED=BD,求AF与平面AEC所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)证明:设AD=a,AD=2a,∠ABD= , ∴cos∠ABD= = ,解得BD= a,
∴BD2+AD2=AB2 , 即BD⊥AD.
∵DE⊥平面ABCD,BD平面ABCD,
∴DE⊥BD,又AD∩DE=D,AD平面ADE,DE平面ADE,
∴BD⊥平面ADE,又BD平面BDEF,
∴平面BDEF⊥平面ADE.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)AD⊥BD,BD= AD,
以D为坐标原点,以射线DA,DB,DE分别为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系,如图所示:
设AD=1,则A(1,0,0),
=(﹣1,0, ), =(﹣2, ,0),
设平面AEC的法向量为 ,则 ,∴
令z=1,得
= =
所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为

【解析】(Ⅰ)利用余弦定理得出BD= AD,由勾股定理即可得出AD⊥BD,再由DE⊥平面ABCD得出DE⊥BD,从而有BD⊥ADE,故平面BDEF⊥平面ADE;(Ⅱ)建立空间坐标系,求出平面AEC的法向量 ,计算 的夹角即可得出线面角的大小.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识,掌握一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直,以及对空间角的异面直线所成的角的理解,了解已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则

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身高(cm)

[160,165)

[165,170)

[170,175)

[175,180)

[180,185)

[185,190)

频数

2

5

14

13

4

2

表2:女生身高频数分布表

身高(cm)

[150,155)

[155,160)

[160,165)

[165,170)

[170,175)

[175,180)

频数

1

7

12

6

3

1


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