Question

【题目】已知单调递增的等比数列满足,且是的等差中项.

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)若,对任意正数数， 恒成立，试求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：(Ⅰ)通过是的等差中项可知，结合，可知 ，进而通过解方程，可知公比，从而可得数列的通项公式；(Ⅱ)通过(Ⅰ) ，利用错位相减法求得，对任意正整数恒成立等价于对任意正整数恒成立，问题转化为求的最小值，从而可得的取值范围.

试题解析：(Ⅰ)设等比数列的首项为,公比为依题意，有,

代入,得，因此,

即有解得或

又数列单调递增，则故.

(Ⅱ) ①

②

①-②，得

对任意正整数恒成立.

对任意正整数恒成立，即恒成立，

,即的取值范围是.

【易错点晴】本题主要考查等差数列的通项公式以及求和公式、“错位相减法”求数列的和，以及不等式恒成立问题，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.