Question

【题目】设f（x）= 为奇函数，a为常数．
（1）求a的值；并判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（2）若对于区间（3，4）上的每一个x的值，不等式f（x）＞ 恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函数，∴定义域关于原点对称，

由 ，得（x﹣1）（1﹣ax）＞0．

令（x﹣1）（1﹣ax）=0，得x1=1，x2= ，∴ =﹣1，解得a=﹣1．

令u（x）= =1+ ，设任意x1＜x2，且x1，x2∈（1，+∞），

则u（x1）﹣u（x2）= ，

∵1＜x1＜x2，∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0，

∴u（x1）﹣u（x2）＞0，即u（x1）＞u（x2）．

∴u（x）=1+ （x＞1）是减函数，

又 为减函数，

∴f（x）= 在（1，+∞）上为增函数

（2）解：由题意知 ﹣ ＞m，x∈（3，4）时恒成立，

令g（x）= ﹣ ，x∈（3，4），由（1）知 在[3，4]上为增函数，

又﹣ 在（3，4）上也是增函数，故g（x）在（3，4）上为增函数，

∴g（x）的最小值为g（3）= ﹣ =﹣ ，

∴m≤﹣ ，故实数m的范围是（﹣∞，﹣ ]

【解析】（1）由奇函数的定义域关于原点对称可求得a值，根据单调性的定义及复合函数单调性的判定方法可判断f（x）的单调性；（2）不等式f（x）＞ 恒成立，等价于f（x）﹣ ＞m恒成立，构造函数g（x）=f（x）﹣ ，x∈（3，4），转化为求函数g（x）在（3，4）上的最值问题即可解决．
【考点精析】关于本题考查的奇偶性与单调性的综合，需要了解奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能得出正确答案．