Question

（本小题满分12分）
已知函数 （是自然对数的底数，）.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；
（3）证明对一切恒成立.

Answer 1

（1）在区间上单调递增，在区间上单调递减。
（2）；（3）．

本试题主要是考查了导数在研究函数中的 运用。利用导数的符号判定函数单调性和利用单调性逆向求解参数的范围，和不等式的证明。
（1）首先求解定义域和导数，然后令导数大于零，小于零得到单调区间。
（2）因为在区间上是增函数，则说明函数在给定区间的导函数恒大于等于零，利用分离参数的思想求解参数的取值范围。
（3）利用第一问中函数的结论，令得，，那么所以在上为减函数，可得对于任意，都有，故有
，放缩法证明不等式。
解：（1）当时，，

由，……………………………………………..4分
所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减。
（2），
由题意得当时，恒成立。
令，有，得，
所以的范围是…………………………………………8分
（3）令得，，
所以在上为减函数，对于任意，都有，故有
即
即．                          ………12分