Question

设平面内的向量

OA

=(-1，-3)，

OB

=(5，3)，

OM

=(2，2)，点P在直线OM上，且

PA

•

PB

=16．
（Ⅰ）求

OP

的坐标；
（Ⅱ）求∠APB的余弦值；
（Ⅲ）设t∈R，求|

OA

+t

OP

|的最小值．

Answer 1

分析：（I）由点P在直线OM上，可知

OP

与

OM

共线，利用向量共线的充要条件得到有

OP

=(x，x)代入

PA

•

PB

=16，利用向量的数量积公式列出关于x的方程，求出

OP

的坐标；
（II）由（I）可求得

PA

=(-6，-8)，

PB

=(0，-2)，利用向量模的坐标公式求出它们的模，代入

PA

•

PB

=16．
利用数量积公式求出∠APB的余弦值；
（III）利用向量模的坐标公式将|

OA

+t

OP

|表示成关于t的二次函数，然后求出其最小值．

解答：解：（Ⅰ）设

OP

=(x，y)．
由点P在直线OM上，可知

OP

与

OM

共线．
而

OM

=（2，2），
所以2x-2y=0，即x=y，有

OP

=(x，x)．
由

PA

=

OA

-

OP

=(-1-x，-3-x)，

PB

=

OB

-

OP

=(5-x，3-x)，
所以

PA

•

PB

=(-1-x)(5-x)+(-3-x)(3-x)，
即

PA

•

PB

=2x2-4x-14．
又

PA

•

PB

=16，所以2x²-4x-14=16．
可得x=5或-3．
所以

OP

=(5，5)或（-3，-3）．…（4分）
当

OP

=(5，5)时，

PA

=(-6，-8)，

PB

=(0，-2)满足

PA

•

PB

=16，
当

OP

=(3，3)时，

PA

=(-4，-6)，

PB

=(2，0)不满足

PA

•

PB

=16，
所以

OP

=(5，5)
（Ⅱ）由

PA

=(-6，-8)，

PB

=(0，-2)，
可得|

PA

|=10，|

PB

|=2．
又

PA

•

PB

=16．
所以cos∠APB=

PA • PB

| PA |•| PB |

=

16

10×2

=

4

5

．…（8分）
（Ⅲ）

OA

+t

OP

=(-1+5t，-3+5t)，|

OA

+t

OP

|=

50t2-40t+10

．
当t=

2

5

时，|

OA

+t

OP

|的最小值是

2

．　　　　　　　　　…（12分）

点评：本题考查平面向量共线定理，平面向量数量积的坐标表示，二次函数的单调性及最值的求解，向量夹角的坐标表示．熟练掌握向量的基础知识并能灵活运用是解决问题的关键．