Question

【题目】中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔（单位：分钟）满足，，经测算，高铁的载客量与发车时间间隔相关：当时高铁为满载状态，载客量为1000人；当时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车间隔为分钟时，高铁载客量为.

（1）求的表达式；

（2）若该线路发车时间间隔为分钟时的净收益（元），当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益最大？

Answer 1

【答案】（1），（2）发车时间间隔为10分钟时，最大.

【解析】

（1）当时，设，代入数据计算，得到解析式.

（2）考虑和两种情况，计算的解析式，求导得到函数单调性，计算最值得到答案.

（1）当时，不妨设，，

解得，因此.

（2）当时，，

因此，.

因为，当时，，单增；

当时，，单减，所以.

当时，，

因此，.

因为，此时单减，所以，

综上，发车时间间隔为10分钟时，最大.