Question

（2013•烟台二模）已知锐角△ABC中的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，定义向量

m

=（2sinB，

3

），

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)，且

m

⊥

n

，
（1）求f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的单调减区间；
（2）如果b=4，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：由两向量的坐标及两向量垂直，得到两向量数量积为0求出B的度数，
（1）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，将B的度数代入，根据正弦函数的单调减区间求出x的范围即可；
（2）由b及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，利用基本不等式变形后，求出ac的最大值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值代入计算即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答：解：∵向量

m

=（2sinB，

3

），

.

n

=（2cos²

B

2

-1，cos2B），且

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=2sinBcosB+

3

cos2B=sin2B+

3

cos2B=2sin（2B+

π

3

）=0，
∴2B+

π

3

=kπ，即B=

k

2

π-

π

6

，k∈Z，
∵0＜B＜

π

2

，∴B=

π

3

，
（1）f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB=sin（2x-B）=sin（2x-

π

3

），
由2x-

π

3

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈Z，得函数f（x）的单调减区间为[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z；
（2）由余弦定理得：16=a²+c²-2accos

π

3

=a²+c²-ac≥ac，
∴S_△ABC=

1

2

acsin

π

3

≤4

3

，
则△ABC面积的最大值为4

3

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的单调性，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．