Question

定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），x∈（0，1）时，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式；
（3）若关于x的方程|f（x）|=a无实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由定义域为R的奇函数f（x），又由当x∈（0，1）时，f(x)=

2x

4x+1

．利用奇函数f（-x）=-f（x），f（0）=0，我们可以求出f（x）在（-1，0）上的解析式，然后根据f（x）满足f（x）=f（x-2k）求出f（-1），f（1）的值，即得到f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）设x∈[2k-1，2k+1]，则x-2k∈[-1，1]，利用f（x）是以2为周期的函数，即f（x-2k）=f（x）可求解．
（3）根据当x∈（0，1）时，f(x)=

2x

4x+1

，求出函数在区间（0，1）上的值域，即可得到方程|f（x）|=a无实数解，时，a的取值范围．

解答：解：（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
有f(-x)=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

，
由f（x）为R上的奇函数，得f（-x）=-f（x），
∴当x∈（-1，0）时，f(x)=-f(-x)=-

2x

4x+1

，（4分）
又f（0）=-f（0），f（0）=0，
∵f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1-2）=f（1），
∴f（-1）=0，f（1）=0，（7分）
∴f(x)=

- 2x 4x+1 ，x∈(-1，0) 0，x=0，±1 2x 4x+1 ，x∈(0，1)

（8分）
（2）因为f（x+2）=f[（x+1）+1]=f（x+1-1）=f（x）
所以，2是函数f（x）的一个周期（2分）
∵f（x）是以2为周期的函数，即f（x-2k）=f（x），k∈Z，
设x∈[2k-1，2k+1]，则x-2k∈[-1，1]，
∴f（x-2k）=

- 2x 4x+1 ，x-2k∈(-1，0) 0，x-2k=0，±1 2x 4x+1 ，x-2k∈(0，1)

，（k∈Z）（6分）
f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式：
f（x）=

- 2x 4x+1 ，x∈(2k-1，2k) 0，x=2k，2k±1 2x 4x+1 ，x∈(2k，2k+1)

，（k∈Z）．
（3）∵x∈（0，1）
设m=

2x

4x+1

=

1

2x+ 1 2x

，（11分）
2^x∈（1，2），
∴2x+

1

2x

∈(2，

5

2

)，
当x=0，1时，m=0，
即当x∈[0，1]时，m∈(

2

5

，

1

2

)∪{0}．    （14分）
∴当x∈[-1，1]时，|f（x）|∈(

2

5

，

1

2

)∪{0}，
若关于x的方程|f（x）|=a无实数解，
则实数a的取值范围为：（-∞，0）∪（0，

2

5

）∪（

1

2

，+∞）．

点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，函数解析式的求法，函数的值域，其中（1）中易忽略对f（0），f（-1）及f（1）值的确定，而错解为f(x)=

- 2x 4x+1 ，x∈(-1，0) 2x 4x+1 ，x∈(0，1)

．