Question

已知正项数列满足4S_n=（a_n+1）²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由4S_n=（a_n+1）²．可知当n≥2时，4S_n-1=（a_n-1+1）²，两式相减，结合等差数列的通项公式可求
（Ⅱ） 由（1）知  bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和即可求解

解答：解：（Ⅰ）∵4S_n=（a_n+1）²．
∴当n≥2时，4S_n-1=（a_n-1+1）²．
两式相减可得，4（s_n-s_n-1）=(an+1)2-(an-1+1)2
即4a_n=(an+1)2-(an-1+1)2
整理得a_n-a_n-1=2              …（4分）
又a₁=1
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1 …（6分）
（Ⅱ） 由（1）知  bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（8分）
所以Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

            …（12分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及等差数列的通项公式、数列的裂项求和方法的应用