【题目】设函数且x,.
(1)判断的奇偶性,并用定义证明;
(2)若不等式在上恒成立,试求实数a的取值范围;
(3)的值域为函数在上的最大值为M,最小值为m,若成立,求正数a的取值范围.
【答案】(1)奇函数;见解析(2);(3)
【解析】
(1)可看出是奇函数,根据奇函数的定义证明即可;
(2)由题意可得出在上恒成立,然后令,,从而得出,只需,配方求出y的最小值,即可求解;
(3)容易求出,从而得出时,,可讨论a:容易得出时,不符合题意;时,可知在上是减函数,在上是增函数,从而可讨论,和,然后分别求出在上的最小值和最大值,根据求出a的范围即可.
的定义域为,
且,
为奇函数;
若不等式在上恒成立,
即在上恒成立,
即在上恒成立,
令,则,,
当,即时,函数取最小值,故;
是上的减函数,
在上的值域为,
在区间上,恒有,
时,在上单调递增,
,,
,解得,不满足;
时,在上是增函数,
,,不满足题意;
时,在上单调递减,在上单调递增,
,即时,在上是增函数,
,,
,解得;
,即时,在上单调递减,
,,
,解得;
,即时,在上单调递减,
在上单调递增,
,,
当,即时,,
解得,,
当,即时,,
解得,,
综上,a的取值范围是.
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【题目】某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨.
(1)列出甲、乙两种产品满足的关系式,并画出相应的平面区域;
(2)在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨时可获得利润最大,最大利润是多少?
(用线性规划求解要画出规范的图形及具体的解答过程)
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【题目】某公司有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为万元(),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则调整员工从事第三产业的人数应在什么范围?
(2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,求的取值范围.
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【题目】如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=PA=2,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点.
(1)求证:BE∥平面PDF;
(2)求证:平面PDF⊥平面PAB;
(3)求BE与平面PAC所成的角.
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【题目】如图,四边形CDEF是正方形,四边形ABCD为直角梯形,∠ADC=90°,AB∥DC,平面CDEF⊥平面ABCD,AB=ADCD=a,M在FB上,且BD∥平面ECM.
(1)求证:M为BF中点;
(2)求证:平面BCF⊥平面EMC;
(3)求直线CD与平面ECM所成角的正弦值.
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【题目】某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室,地面形状如图所示,已知已有两面墙的夹角为,墙的长度为米,(已有两面墙的可利用长度足够大),记.
(1)若,求的周长(结果精确到0.01米);
(2)为了使小动物能健康成长,要求所建的三角形露天活动室面积,的面积尽可能大,当为何值时,该活动室面积最大?并求出最大面积.
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【题目】某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取60名同学将其成绩(百分制,均为整数)分成, , , , , 六组后,得到部分频率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题:
(1)求分数内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)从频率分布直方图中,估计本次考试成绩的中位数;
(3)若从第1组和第6组两组学生中,随机抽取2人,求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.
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【题目】寒冷的冬天,某高中一组学生来到一大棚蔬菜基地,研究种子发芽与温度控制技术的关系,他们分别记录五组平均温度及种子的发芽数,得到如下数据:
平均温度() | 11 | 10 | 13 | 9 | 12 |
发芽数(颗) | 25 | 23 | 30 | 16 | 26 |
(Ⅰ)若从五组数据中选取两组数据,求这两组数据平均温度相差不超过概率;
(Ⅱ)求关于的线性回归方程;
(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(Ⅱ)屮所得的线性回归方程是否可靠?
(注: , )
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【题目】已知的内角成等差数列,且所对的边分别为,则有下列四个命题:
①;
②若成等比数列,则为等边三角形;
③若,则为锐角三角形;
④若,则.
则以上命题中正确的有________________.( 把所有正确的命题序号都填在横线上 ).
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