Question

4．设函数f（x）=ax²+（2b+1）x-a-2（a，b∈R）
（1）若a=0，当x∈[$\frac{1}{2}$，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；
（2）若b=-1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点．

Answer 1

分析 （1）若a=0，f（x）=（2b+1）x-2，利用一次函数的性质可得$\left\{\begin{array}{l}f（1）≥0\\ f（{\frac{1}{2}}）≥0\end{array}\right.$；
（2）b=-1时，整理得y=a（x²-1）-x-2，可变形为y+x+2=a（x²-1），无论对a为何值，都恒过$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-1=0\\ y+x+2=0\end{array}\right.$得出恒过点（1，-3），（-1，-1），故只需当横坐标等于1和-1时，纵坐标不等于-3和-1即可．

解答 解：（1）若a=0，f（x）=（2b+1）x-2，
∵当x∈[$\frac{1}{2}$，1]时恒有f（x）≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）≥0\\ f（{\frac{1}{2}}）≥0\end{array}\right.$，$b∈[{\frac{3}{2}，+∞}）$-------------（8分）
（2）b=-1时，y=a（x²-1）-x-2，即y+x+2=a（x²-1）当$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-1=0\\ y+x+2=0\end{array}\right.$时，a∈R；
即当a为不等于0 的任意实数时，函数恒过点（1，-3），（-1，-1），
∴由函数定义可知，函数y=f（x）的图象永远不经过A（1，m），B（-1，n）（其中m≠-3，n≠-1）----（16分）

点评 考查了一次函数区间内恒为正值的求法，函数恒过定点问题的求法．