Question

已知实数x，y满足

x+3y-3n-1≤0 2x-y+n-2≤0

，其中n∈N^*，目标函数z=x+y的最大值记为a_n，又数列{b_n}满足：nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=（

9

10

）^n-1+（

9

10

）^n-2+…+

9

10

+1
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=-a_n•b_n，试问数列{c_n}中，是否存在正整数k，使得对于{c_n}中任意一项c_n，都有c_n≤c_k成立？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用线性规划求出数列的通项公式a_n，利用nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=（

9

10

）^n-1+（

9

10

）^n-2+…+

9

10

+1
作差求出{b_n}的通项公式；
（2）写出c_n=-a_n•b_n，通过比较数列{c_n}中，存在正整数k=8或9，使得对于{c_n}中任意一项c_n，都有c_n≤c_k成立

解答：解：（1）由线性规划知识可知a_n=n+1              …4 分
．当n=1时b₁=1
当n≥2时
由nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=（

9

10

）^n-1+（

9

10

）^n-2+…+

9

10

+1，得，
（n-1）b₁+（n-2）b₂+…+b_n-1=（

9

10

）^n-2+（

9

10

）^n-3+…+

9

10

+1
两式相减，
得：b₁+b₂+…+b_n-1+b_n=（

9

10

）^n-1，n≥2，
显然n=1时b₁=1也适合上式即：…6 分
b₁+b₂+…+b_n-1+b_n=（

9

10

）^n-1，n∈N
当n≥2时
b_n=S_n-S_n-1=-

1

10

(

9

10

)n-1
即：bn=

1                 n=1 - 1 10 ( 9 10 )n-1       n≥2

                  …8 分
（2）由（1）与（2）得：c_n=-a_n•b_n，
=

-2                 n=1 n+1 10 ( 9 10 )n-2       n≥2

      …（10分）
当n=1时，c₂-c₁=

23

10

＞0⇒c₂＞c₁                    …（11分）
当n≥2时，c_n+1-c_n=

8-n

100

(

9

10

)n-2，…（13分）
∴当n＜8时，c_n+1＞c_n
当n=8时，c_n+1=c_n，
当n＞8时，c_n+1＜c_n
即c₁＜c₂＜…＜c₈＞c₉＞c₁₀＞c₁₁＞…（15分）
所以存在正整数k=8或9，使得对于{c_n}中的任意一项c_n，均有c_n≤c₈或c_n≤c₉ …（16分）

点评：本题考查数列求和，通项公式的应用，数列的函数特征，考查分析问题解决问题的能力．