Question

已知函数f（x）=log_a

mx+1

x-1

（a＞0，a≠1），在定义域（-∞，-1）∪（1，+∞）上是奇函数．
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数的定义，结合对数的运算性质，构造关于m的方程，即可求得结论．
（2）根据（1）中m的值，结合对数函数的单调性，和复合函数的单调性，可得结论，进而利用定义法可以证明结论．

解答： 解：（1）函数f（x）=log_a

mx+1

x-1

（a＞0，且a≠1）在其定义域上是奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，
即log_a

mx+1

x-1

+log_a

-mx+1

-x-1

=0
∴

mx+1

x-1

×

-mx+1

-x-1

=1
∴1-m²x²=1-x²
∴m²=1
∴m=±1
当m=-1时，

mx+1

x-1

=

-x+1

x-1

=-1，不合题意；
当m=1时，f（x）=log_a

x+1

x-1

，符合题意
故m=1，
（2）由（1）知f（x）=log_a

x+1

x-1

，
当0＜a＜1时，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
当a＞1时，函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，
证明如下：
任取，x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=loga

x1+1

x1-1

-loga

x2+1

x2-1

=loga

x1x2-x1+x2+1

x1x2+x1-x2+1

，
∵x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂
∴（x₁x₂-x₁+x₂+1）（x₁x₂-x₁+x₂+1）=2（x₂-x₁）＞0，
所以x₁x₂-x₁+x₂+1＞x₁x₂-x₁+x₂+1＞0，
因为1+x₁-x₂-x₁x₂=（1+x₁）（1-x₂）＞0，
所以

x1x2-x1+x2+1

x1x2+x1-x2+1

＞1，
当0＜a＜1时，loga

x1x2-x1+x2+1

x1x2+x1-x2+1

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
此时函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．
当a＞1时，loga

x1x2-x1+x2+1

x1x2+x1-x2+1

＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
此时函数f（x）在（1，+∞）上单调递减．

点评：本题考查函数的奇偶性，考查对数的运算性质，考查函数单调性的判断与证明，是对数函数图象与性质的综合应用，难度中档．