Question

已知圆的方程x²+y²=4，若抛物线过点A（0，-1），B（0，1）且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是（　　）

• A、

  x2

  3

  +

  y2

  4

  =1（y≠0）
• B、

  x2

  4

  +

  y2

  3

  =1（y≠0）
• C、

  x2

  3

  +

  y2

  4

  =1（x≠0）
• D、

  x2

  4

  +

  y2

  3

  =1（x≠0）

Answer 1

分析：设出切线方程，表示出圆心到切线的距离求得a和b的关系，设出焦点坐标，根据抛物线的定义求得点A，B到准线的距离等于其到焦点的距离，然后两式平方后分别相加和相减，联立后求得x和y的关系式．

解答：解：设切线ax+by-1=0，圆心到切线距离等于半径

1

a2+b2

=2
∴

a2+b2

=

1

2

，∴a²+b²=

1

4

设焦点（x，y），抛物线定义，

(y+1)2+x2

=

|-a-1|

a2+b2

(y-1)2+x2

=

|a-1|

a2+b2

平方相加得：2x²+2+2y²=8（a²+1）
相减得：4y=16a，a=

y

4

所以2x²+2+2y²=8（

y2

16

+1）
即：

x2

3

+

y2

4

=1
依题意焦点不能与A，B共线
∴x≠0
故抛物线的焦点轨迹方程为

x2

3

+

y2

4

=1(x≠0)
故选C

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程．考查了学生数形结合的思想及综合分析问题的能力．