Question

定义在R上函数满足f（x+

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2

）+f（x）=0，g=f（x+

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4

）为奇函数，给出下列四个结论：
①f（x）的最小正周期为

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2

②f（x）的图象关于（

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4

，0）对称
③f（x）的图象关于x=

5

2

对称；
④f_minx=f（

5

4

）．
其中正确的是

 

，请说明理由．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：①f（x+5）=f(x+

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+

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)=-f(x+

5

2

)=f（x），而f(x+

5

2

)=-f（x）≠f（x），即可得出函数f（x）的最小正周期；
②由f（x+

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4

）为奇函数，可得f(-x+

5

4

)=-f(x+

5

4

)，令x+

5

4

=t，则x=t-

5

4

，可得f(

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-t)=-f(t)，即可得出函数的中心对称性；
③由②可得：f(

5

2

-x)=-f(x)，而f（x+

5

2

）+f（x）=0，可得f(

5

2

-x)=f(

5

2

+x)，即可得出函数的轴对称性；
④由②f（x）的图象关于（

5

4

，0）中心对称，不可能有fmin(x)=f(

5

4

)．

解答： 解：对于①，f（x+5）=f(x+

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2

+

5

2

)=-f(x+

5

2

)=f（x），而f(x+

5

2

)=-f（x）≠f（x），∴函数f（x）的最小正周期为5，因此①不正确；
对于②，∵f（x+

5

4

）为奇函数，∴f(-x+

5

4

)=-f(x+

5

4

)，令x+

5

4

=t，则x=t-

5

4

，∴f(

5

2

-t)=-f(t)，即f(

5

2

-x)+f(x)=0，因此f（x）的图象关于（

5

4

，0）对称，②正确；
对于③，由②可得：f(

5

2

-x)=-f(x)，而f（x+

5

2

）+f（x）=0，∴f(

5

2

-x)=f(

5

2

+x)，∴f（x）的图象关于x=

5

2

对称，因此③正确；
对于④，由②f（x）的图象关于（

5

4

，0）中心对称，不可能有fmin(x)=f(

5

4

)，因此④不正确．
综上可得：只有②③正确．
故答案为：②③．

点评：本题考查了抽象函数的周期性、奇偶性、对称性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．