Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2．
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小．

Answer 1

分析：法一（Ⅰ）连接BD，证明平面PBE内的直线BE，垂直平面PAB内的两条相交直线PA，AB即可证明平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连接PF．过点A作AH⊥PB于H，∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）．
解Rt△AHG求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小．

法二：以A为原点，建立空间直角坐标系．
（Ⅰ）由

.

BE

=(0，

3

2

，0)，与平面PAB的一个法向量是

.

n0

=（0，1，0），
共线，说明BE⊥平面PAB，推出平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求出平面PBE的一个法向量，平面PAD的一个法向量，求两个向量的数量积，即可求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小．

解答：解：解法一（Ⅰ）如图所示，连接BD，
由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，
所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE．而PA∩AB=A，因此BE⊥平面PAB．
又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．

（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连接PF．过点A作AH⊥PB于H，
由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB，所以AH⊥平面PBE．
在Rt△ABF中，因为∠BAF=60°，
所以，AF=2AB=2=AP．
在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG．
则AG⊥PF．连接HG，由三垂线定理的逆定理得，PF⊥HG．
所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）．
在等腰Rt△PAF中，

20

10

=2
在Rt△PAB中，AH=

AP•AB

PB

=

AP•AB

AP2+AB2

=

2

5

=

2 5

5

．
所以，在Rt△AHG中，sin∠AGH=

AH

AG

=

2 5 5

2

=

10

5

．
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是arcsin

10

5

．

解法二：如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系．
则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），
C(

3

2

，

3

2

，0)，D(

1

2

，

3

2

，0)，P（0，0，2），E(1，

3

2

，0)．
（Ⅰ）因为

.

BE

=(0，

3

2

，0)，
平面PAB的一个法向量是

.

n0

=(0，1，0)，
所以

.

BE

和

.

n0

共线．从而BE⊥平面PAB．
又因为BE?平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB．

（Ⅱ）易知

PB

=(1，0，-2)，

BE

=(0，

3

2

，0)，

PA

=(0，0，-2)，

AD

=(

1

2

，

3

2

，0)
设

n

_=(x1，y1，z1)是平面PBE的一个法向量，
则由

n1 • PB =0 n1 • BE =0

得

x1+0×y1-2z1=0 0×x1+ 3 2 y2+0×z2=0.

所以y₁=0，x₁=2z₁．故可取

n1

=（2，0，1）．
设

n2

=(x2，y2，z2)是平面PAD的一个法向量，
则由

n2 • PA =0 n2 • AD =0

得

0×x2+0×y2-2z2=0 1 2 x2+ 3 2 y2+0×z2=0

所以z2=0，x2=-

3

y2．故可取

n2

=(

3

，-1，0)．
于是，cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2 3

5 ×2

=

15

5

．
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是arccos

15

5

．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．