Question

2．已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，现给出如下结论；
①f（x）≤1．；②f（x）≥3；③f（0）f（1）＜0；④f（0）f（3）＞0；⑤abc＜4
其中正确结论的序号是③④⑤．

Answer 1

分析 根据f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点及a、b、c的大小关系，由此可得结论．

解答 解：求导函数可得f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
∴当1＜x＜3时，f′（x）＜0；当x＜1，或x＞3时，f′（x）＞0，
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，1）和（3，+∞），单调递减区间为（1，3），
所以f（x）极大值=f（1）=1-6+9-abc=4-abc，f（x）极小值=f（3）=27-54+27-abc=-abc
要使f（x）=0有三个解a、b、c，那么结合函数f（x）草图可知：
a＜1＜b＜3＜c
及函数有个零点x=b在1～3之间，所以f（1）=4-abc＞0，且f（3）=-abc＜0
所以0＜abc＜4
∵f（0）=-abc
∴f（0）＜0
∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0
故答案为：③④⑤．

点评 本题考查函数的零点、极值点，解不等式，综合性强，利用数形结合可以使本题直观．