Question

已知多面体ABC-DEFG中（如图），AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则这个多面体的体积为（　　）

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

分析：如图，此多面体开关不规则，可以用分割法求体积，取DG中点M，连接CM，AM，FM，则这个多面体的体积可以表示为棱柱BEF-ADM与三棱锥C-FMG以及四棱锥C-ABFM的和

解答：解：取DG中点M，连接CM，AM，FM，则这个多面体的体积可以表示为棱柱BEF-ADM与三棱锥C-FMG以及四棱锥C-ABFM的和
由于多面体ABC-DEFG中（如图），AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1
故棱柱BEF-ADM可看作是底面是直角三角形的三棱锥，其高2，底面是两直角边分别是1，2的三角形其体积是2×

1

2

×2×1=2
三棱锥C-FMG以CM为高，其长为2，底面是MF=2，MG=1为直角边的直角三角形，其体积为

1

3

×2×

1

2

×2×1=

2

3

由图形知，C到AM的距离就是四棱锥C-ABFM的高，由于AM=

5

，由等面积法可求得C到AM的距离是

2 5

5

，底面四边形是以AM=

5

与AB=2为边长的矩形，故其体积为

1

3

×

2 5

5

×2×

5

=

4

3

这个多面体的体积为

4

3

+

2

3

+2=4
故选B．

点评：本题考查组合几何体的面积、体积问题，解答本题关键是根据几何体的形状对几何体进行分割，变成几个规则的几何体的体积的和，如本题转化为求棱柱，两个棱锥的体积的和．分割法是求不规则几何体的体积与面积时常用的方法．其特点是把不规则几何体的体积用几个规则的几何体的体积表示出来．