Question

已知函数f（x）=axlnx图象上点（e，f（e））处的切线方程与直线y=2x平行（其中e=2.71828…），g（x）=x²-tx-2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[n，n+2]（n＞0）上的最小值；
（Ⅲ）对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据切线方程与直线y=2x平行得到切线的斜率为2，即可得到f'（e）=2，求出函数的导函数把f'（e）=2代入即可求出a的值得到函数的解析式；
（II）令f′（x）=0求出x的值为

1

e

，由函数定义域x∈（0，+∞），所以在（0，

1

e

）和（

1

e

，+∞）上讨论函数的增减性，分两种情况：当

1

e

属于[n，n+2]得到函数的最小值为f（

1

e

）；当

1

e

≤n≤n+2时，根据函数为单调增得到函数的最小值为f（n），求出值即可；
（III）把g（x）的解析式代入不等式3f（x）≥g（x）中解出t≥x-3lnx-

2

x

，然后令h（x）=x-3lnx-

2

x

，求出h′（x）=0时x的值，然后在定义域（0，+∞）上分区间讨论函数的增减性，求出h（x）的最大值，t要大于等于h（x）的最大值即为不等数恒成立，即可求出t的取值范围．

解答：解：（I）由点（e，f（e））处的切线方程与直线2x-y=0平行，
得该切线斜率为2，即f'（e）=2．
又∵f'（x）=a（lnx+1），令a（lne+1）=2，a=1，
所以f（x）=xlnx．

（II）由（I）知f'（x）=lnx+1，
显然f'（x）=0时x=e^-1当x∈(0，

1

e

)时f'（x）＜0，
所以函数f(x)在(0，

1

e

)上单调递减．
当x∈(

1

e

，+∞)时f'（x）＞0，
所以函数f（x）在(

1

e

，+∞)上单调递增，
①

1

e

∈[n，n+2]时，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；
②

1

e

≤n＜n+2时，函数f（x）在[n，n+2]上单调递增，
因此f（x）_min=f（n）=nlnn；
所以f(x)min=

- 1 e ，(0＜n＜ 1 e ) nlnn，(n≥ 1 e )

；

（III）对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，
又g（x）=x²-tx-2，
∴3xlnx≥x²-tx-2，
即t≥x-3lnx-

2

x

．
设h(x)=x-3lnx-

2

x

，x∈(0，e]，
则h′(x)=1-

3

x

+

2

x2

=

x2-3x+2

x2

=

(x-1)(x-2)

x2

，
由h'（x）=0得x=1或x=2，
∴x∈（0，1），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
x∈（1，2），h'（x）＞0，h（x）单调递减，
x∈（2，e），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）_极大值=h（1）=-1，且h（e）=e-3-2e^-1＜-1，
所以h（x）_max=h（1）=-1．
因为对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，
∴t≥h（x）_max=-1．
故实数t的取值范围为[-1，+∞）．

点评：考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，会利用导数求闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所取的条件．此题是一道综合题．