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已知:命题q:集合A={x|x2+ax+1=0,x∈R},B={x|x>0},且A∩B=∅.
(Ⅰ)若命题q为真命题,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若命题p:f(x)=
1-x2
,且|f(a)|<2,试求实数a的取值范围,使得命题p,q有且只有一个为真命题.
分析:(Ⅰ)对两集合交集为空集要有充分的认识,要注意考虑一个集合为空集的情况.要有分类讨论意识,准确将A∩B=∅进行合理转化是解决本题的关键.结合集合B可知,集合A=∅或者A⊆(-∞,0].
(Ⅱ)在第(Ⅰ)问a的范围之下,求解出命题q成立的a的范围,然后依据p真q假、p假q真分别得出关于实数a的不等式组,从而求解出实数a的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)因为A∩B=∅,故集合A应分为A=∅和A≠∅两种情况
(1)A=∅时,△=a2-4<0?-2<a<2;
(2)A≠∅时,
△=a2-4≥0
x1+x2=-a<0
?a≥2
,所以A∩B=∅得a>-2,
故实数a的取值范围为a>-2;
(Ⅱ)由|f(a)|<2得|
1-a
2
|<2
,解得-3<a<5,若p真q假,则有
a>-2
a≤-3或a≥5
,则a≥5;
若p假q真,则
a≤-2
-3<a<5
,即-3<a≤-2,
故实数a的取值范围为-3<a≤-2或a≥5.
点评:本题主要考查了集合交集的定义,分类讨论思想和等价转化思想.将方程的根的问题进行适当的转化,列出不等式是解决本题的关键.正确求解含绝对值的不等式,对命题p,q有且只有一个为真命题进行合适转化也是正确求解本题所必需的.
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已知全集U=R,集合A={x|
x-2
x-3a-1
<0,a≥
1
3
},B={x|
x-a2-2
x-a
<0}
,命题p:x∈A,命题q:x∈B.若q是p的必要条件,求实数a的取值范围.

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