Question

已知：命题q：集合A={x|x²+ax+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=∅．
（Ⅰ）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若命题p：f(x)=

1-x

2

，且|f（a）|＜2，试求实数a的取值范围，使得命题p，q有且只有一个为真命题．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对两集合交集为空集要有充分的认识，要注意考虑一个集合为空集的情况．要有分类讨论意识，准确将A∩B=∅进行合理转化是解决本题的关键．结合集合B可知，集合A=∅或者A⊆（-∞，0]．
（Ⅱ）在第（Ⅰ）问a的范围之下，求解出命题q成立的a的范围，然后依据p真q假、p假q真分别得出关于实数a的不等式组，从而求解出实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为A∩B=∅，故集合A应分为A=∅和A≠∅两种情况
（1）A=∅时，△=a²-4＜0?-2＜a＜2；
（2）A≠∅时，

△=a2-4≥0 x1+x2=-a＜0

?a≥2，所以A∩B=∅得a＞-2，
故实数a的取值范围为a＞-2；
（Ⅱ）由|f（a）|＜2得|

1-a

2

|＜2，解得-3＜a＜5，若p真q假，则有

a＞-2 a≤-3或a≥5

，则a≥5；
若p假q真，则

a≤-2 -3＜a＜5

，即-3＜a≤-2，
故实数a的取值范围为-3＜a≤-2或a≥5．

点评：本题主要考查了集合交集的定义，分类讨论思想和等价转化思想．将方程的根的问题进行适当的转化，列出不等式是解决本题的关键．正确求解含绝对值的不等式，对命题p，q有且只有一个为真命题进行合适转化也是正确求解本题所必需的．