精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,P是椭圆上一点,且面积的最大值等于2.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线y=2上是否存在点Q,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由。
(1)  ;(2)存在,.

试题分析:(1)通过椭圆性质列出的方程,其中离心率,分析图形知道当点P在短轴端点时,面积取得最大值,所以,椭圆中,从而建立关于的方程,解出;即得到椭圆的标准方程;(2)对于存在性的问题,要先假设存在,先设存在这样的点,结合图形知道要先讨论,当时,明显切线不垂直,当时,先设切线,与椭圆方程联立,利用,得出关于斜率的方程,利用两根之积公式,解出点坐标.即值.此题为较难题型,分类讨论时要全面.
试题解析:(1)因为点在椭圆上,所以
因此当时,面积最大,且最大值为
又离心率为
由于,解得
所求椭圆方程为
(2)假设直线上存在点满足题意,设,显然当时,从点所引的两条切线不垂直.
时,设过点向椭圆所引的切线的斜率为,则的方程为
消去,整理得:

所以,      *
设两条切线的斜率分别为,显然,是方程的两根,故:
解得:,点坐标为
因此,直线上存在两点满足题意.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴,焦点为,抛物线上一点的横坐标为2,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点作直线交抛物线于两点,求证: .

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆经过如下五个点中的三个点:.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点为椭圆的左顶点,为椭圆上不同于点的两点,若原点在的外部,且为直角三角形,求面积的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知点,直线AG,BG相交于点G,且它们的斜率之积是
(Ⅰ)求点G的轨迹的方程;
(Ⅱ)圆上有一个动点P,且P在x轴的上方,点,直线PA交(Ⅰ)中的轨迹于D,连接PB,CD.设直线PB,CD的斜率存在且分别为,若,求实数的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆的焦点坐标为F1(-1,0),F2(1,0),过F2垂直于长轴的直线交椭圆于PQ两点,且|PQ|=3.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点MN,则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

若点P到点的距离与它到直线y+3=0的距离相等,则P的轨迹方程为 (  )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

双曲线的一个焦点坐标为,则双曲线的渐近线方程为(    )
A.B.
C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知直线交抛物线两点.若该抛物线上存在点,使得,则的取值范围为_________.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

抛物线的顶点在原点,焦点F与双曲线的右焦点重合,过点且切斜率为1的直线与抛物线交于两点,则弦的中点到抛物线准线的距离为_____________________.

查看答案和解析>>

同步练习册答案