Question

已知函数f(x)=4sin2

π+2x

4

 • sinx+(cosx+sinx)(cosx-sinx)．
（1）化简f（x）；
（2）已知常数ω＞0，若函数y=f（ωx）在区间[-

π

2

，  

2π

3

]上是增函数，求ω的取值范围；
（3）若方程f（x）（sinx-1）+a=0有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦公式和平方差公式整理函数式，再合并同类型，点的三角函数的最简形式．
（2）根据上一问做出的函数的解析式，代入自变量整理出函数式，根据正弦函数的单调性先写出函数的单调区间，根据所给的单调区间，两者进行比较，得到ω的取值范围．
（3）原方程可化为2sin²x-sinx+a-1=0，换元令sinx=t，则问题转化为方程2t²-t+a-1=0在[-1，1]内有一解或两解，根据解的情况写出实根分布的充要条件，得到结果．

解答：解：（1）f(x)=2[1-cos(

π

2

+x)] • sinx+cos2x-sin2x=（2+2sinx）sinx+1-2sin²x=2sinx+1（14分）
（2）∵f（ωx）=2sinωx+1
由2kπ-

π

2

≤ωx≤2kπ+

π

2

得

2kπ

ω

-

π

2ω

≤x≤

2kπ

ω

+

π

2ω

，k∈Z
∴f（ωx）的递增区间为[

2kπ

ω

-

π

2ω

，  

2kπ

ω

+

π

2ω

]，k∈Z
∵f（ωx）在[-

π

2

，  

2π

3

]上是增函数
∴当k=0时，有[-

π

2

，  

2π

3

]⊆[-

π

2ω

，  

π

2ω

]
∴

ω＞0 - π 2ω ≤- π 2 π 2ω ≥ 2π 3

解得  0＜ω≤

3

4

∴ω的取值范围是(0，  

3

4

]（8分）
（3）解一：方程f（x）（sinx-1）+a=0即为（2sinx+1）（sinx-1）+a=0从而问题转化为方程a=-2sin²x+sinx+1有解，只需a在函数y=-2sin²x+sinx+1的值域范围内
∵y=-2sin2x+sinx+1=-2(sinx-

1

4

)2+

9

8

当sinx=

1

4

时，ymax=

9

8

；
当sinx=-1时，y_min=-2
∴实数a的取值范围为[-2，  

9

8

]（12分）
解二：原方程可化为2sin²x-sinx+a-1=0
令sinx=t，则问题转化为方程2t²-t+a-1=0在[-1，1]内有一解或两解，
设g（t）=2t²-t+a-1，若方程在[-1，1]内有一个解，则g(-1)g(1)＜0 或 

g(-1)=0 g(1)＜0

或 

g(1)=0 g(-1)＜0

解得-2≤a＜0
若方程在[-1，1]内有两个解，则

△=(-1)2-8(a-1)≥0 -1≤ 1 4 ≤1 g(-1)≥0 g(1)≥0

解得0≤a≤

9

8

∴实数a的取值范围是[-2，

9

8

]

点评：本题考查三角函数的化简求值及一元二次方程的实根分布，本题解题的关键是整理出三角函数的解析式，熟练应用三角函数的公式来解题，本题是一个中档题目．