Question

8．已知点P是抛物线C₁：y²=4x上的动点，过P作圆（x-3）²+y²=2的两条切线，则两条切线的夹角的最大值为60°．

Answer 1

分析 要使两切线夹角最大，需抛物线上的点P到圆心的距离最小，求出P到圆心的距离最小值，利用直角三角形中的边角关系，求出两切线夹角夹角的一半，进而得到两切线夹角的最大值．

解答 解；要使两切线夹角最大，需抛物线上的点P到圆心的距离最小，点P到圆心的距离为；
d=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-3）^{3}+4x}$=$\sqrt{（x-1）^{2}+8}$≥2$\sqrt{2}$，
即点P到圆心的距离最小为2$\sqrt{2}$，圆A：（x-3）²+y²=2的半径r=$\sqrt{2}$，
设两切线夹角为2α，则sinα=$\frac{1}{2}$，∴α=30°，∴2α=60° 故两切线夹角的最大值为60°，
故答案为：60°．

点评 本题考查圆的切线性质，从圆外一点作圆的切线，此点到圆心的距离越小，两切线夹角就越大．