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已知函数y=f(x)的图象与函数y=ax-1(a>1)的图象关于直线y=x对称.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)在区间[m,n](m>-1)上的值域为[loga数学公式,loga数学公式],求实数p的取值范围;
(Ⅲ)设函数g(x)=loga(x2-3x+3),F(x)=af(x)-g(x),其中a>1.若w≥F(x)对?x∈(-1,+∞)恒成立,求实数w的取值范围.

解:(Ⅰ)∵函数y=f(x)的图象与函数y=ax-1(a>1)的图象关于直线y=x对称,
∴y=f(x)是y=ax-1(a>1)的反函数.
在y=ax-1(a>1)中,
∵ax=y+1,∴x=loga(y+1),
互换x,y,得到f(x)=loga(x+1).…(3分)
(Ⅱ)因为a>1,所以f(x)=loga(x+1)在(-1,+∞)上为单调递增函数.
所以f(x)=loga(x+1)在区间[m,n](m>-1)上为单调递增函数.
∵f(x)在区间[m,n](m>-1)上的值域为[loga,loga],
∴f(m)=
f(n)=loga(n+1)=
即m+1=,n+1=,n>m>-1.
所以m,n是方程x+1=
即方程x2+x-p=0,x∈(-1,0)∪(0,+∞)有两个相异的解,
这等价于,…(6分)
解得-为所求.
故实数p的取值范围是(-,0). …(8分)
(Ⅲ)∵g(x)=loga(x2-3x+3),
∴F(x)=af(x)-g(x)=
=,x>-1.

当且仅当x=时等号成立,
=∈(0,],
∴F(x)max=F()=
因为w≥F(x)恒成立,∴w≥F(x)max
所以实数w的取值范围是[,+∞).…(13分)
分析:(Ⅰ)函数y=f(x)的图象与函数y=ax-1(a>1)的图象关于直线y=x对称,知y=f(x)是y=ax-1(a>1)的反函数.由此能求出f(x)=loga(x+1).
(Ⅱ)因为a>1,所以f(x)=loga(x+1)在(-1,+∞)上为单调递增函数.所以f(x)=loga(x+1)在区间[m,n](m>-1)上为单调递增函数.由此利用f(x)在区间[m,n](m>-1)上的值域为[loga,loga],能求出实数p的取值范围.(Ⅲ)由g(x)=loga(x2-3x+3),知F(x)=af(x)-g(x)=,x>-1.由,知F(x)max=F()=,再由w≥F(x)恒成立,能求出实数w的取值范围.
点评:本题考查函数的解析式的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意反函数、单调性、均值定理等知识点的合理运用.
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