解:(Ⅰ)∵函数y=f(x)的图象与函数y=a
x-1(a>1)的图象关于直线y=x对称,
∴y=f(x)是y=a
x-1(a>1)的反函数.
在y=a
x-1(a>1)中,
∵a
x=y+1,∴x=log
a(y+1),
互换x,y,得到f(x)=log
a(x+1).…(3分)
(Ⅱ)因为a>1,所以f(x)=log
a(x+1)在(-1,+∞)上为单调递增函数.
所以f(x)=log
a(x+1)在区间[m,n](m>-1)上为单调递增函数.
∵f(x)在区间[m,n](m>-1)上的值域为[log
a,log
a],
∴f(m)=
,
f(n)=log
a(n+1)=
,
即m+1=
,n+1=
,n>m>-1.
所以m,n是方程x+1=
,
即方程x
2+x-p=0,x∈(-1,0)∪(0,+∞)有两个相异的解,
这等价于
,…(6分)
解得-
为所求.
故实数p的取值范围是(-
,0). …(8分)
(Ⅲ)∵g(x)=log
a(x
2-3x+3),
∴F(x)=a
f(x)-g(x)=
=
,x>-1.
∵
,
当且仅当x=
时等号成立,
∴
=
∈(0,
],
∴F(x)
max=F(
)=
,
因为w≥F(x)恒成立,∴w≥F(x)
max,
所以实数w的取值范围是[
,+∞).…(13分)
分析:(Ⅰ)函数y=f(x)的图象与函数y=a
x-1(a>1)的图象关于直线y=x对称,知y=f(x)是y=a
x-1(a>1)的反函数.由此能求出f(x)=log
a(x+1).
(Ⅱ)因为a>1,所以f(x)=log
a(x+1)在(-1,+∞)上为单调递增函数.所以f(x)=log
a(x+1)在区间[m,n](m>-1)上为单调递增函数.由此利用f(x)在区间[m,n](m>-1)上的值域为[log
a,log
a],能求出实数p的取值范围.(Ⅲ)由g(x)=log
a(x
2-3x+3),知F(x)=a
f(x)-g(x)=
,x>-1.由
,知F(x)
max=F(
)=
,再由w≥F(x)恒成立,能求出实数w的取值范围.
点评:本题考查函数的解析式的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意反函数、单调性、均值定理等知识点的合理运用.