Question

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）判断函数f（x）的对称性和奇偶性；
（2）当a=2时，求使g²（x）f（x）=4x成立的x的集合；
（3）若a＞0，记F（x）=g（x）-f（x），试问F（x）在（0，+∞）是否存在最大值，若存在，求a的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）可以采用画图形的方法直观上直接判定该函数的对称性，再结合定义判定，也可以举出反例，直接推翻奇偶函数的定义，．
（2）问题的实质是属于解关于x的方程问题，本题要注意绝对值符号去掉时要对变量x进行讨论．
（3）构建函数F（x）=g（x）-f（x）是我们解决此类问题的常见手段，有了具体的函数模型再结合其单调性性质即可，注意对常量a的讨论使用．

解答：解：（1）由函数f（x）=

x-a   (x≥a) -x+a (x＜a)

可知，函数f（x）的图象关于直线x=a对称．
当a=0时，函数f（x）=|x|，显然是一个偶函数；
当a≠0时，取特殊值：f（a）=0，f（-a）=2|a|≠0．
即f（-x）≠

f(x) -f(x)

，
故函数f（x）=|x-a|是非奇非偶函数．
（2）若a=2，且g²（x）f（x）=4x
可得：x²|x-2|=x，得 x=0 或 x|x-2|=1；
因此得 x=0 或 x=1 或 x=1+

2

，
故所求的集合为{0，1，1+

2

}．
（3）对于 a＞0，F（x）=g（x）-f（x）=ax-|x-a|=

(a+1)x-a (0＜x＜a) (a-1)x+a  (x≥a)

若a＞1时，函数F（x）在区间（0，a），[a，+∞）上递增，无最大值；
若a=1时，F（x）=

2x- 1  (x＜1)  1      (x≥1)

有最大值为1
若0＜a＜1时，F（x）在区间（0，a）上递增，在[a，+∞）上递减，F（x）有最大值 F（a）=a²；
综上所述得，当0＜a≤1时，函数F（x）有最大值．

点评：1、定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件．
2、判定函数奇偶性常见步骤：①判定其定义域是否关于原点对称，
②判定f（x）与f（-x）的关系．
提醒：含有参数的最值问题，往往需要通过对参数的分类讨论其单调性来求解．