Question

S=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

1000000

，则S的整数部分是（　　）

A．1997

B．1998

C．1999

D．2000

Answer 1

分析：利用放缩法进行放缩，S=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

1000000

=1+

2

2 + 2

+

2

3 + 3

+…+

2

1000000 + 1000000

＜1+2×（

1

2 +1

+

1

3 + 2

+…+

2

1000000 + 999999

）=1999；
S＞1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

1000000

=

2

1 + 1

+

2

2 + 2

+

2

3 + 3

+…+

2

1000000 + 1000000

＞

2

2 + 1

+

2

3 + 2

+

2

4 + 3

+…+

2

1000000 + 999999

=1998．即1998＜S＜1999．从而得出S的整数部分．

解答：解：S=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

1000000

=1+

2

2 + 2

+

2

3 + 3

+…+

2

1000000 + 1000000

＜1+2×（

1

2 +1

+

1

3 + 2

+…+

2

1000000 + 999999

）
=1+2×[

2

-1）+（

3

-

2

）+…+（

1000000

-

999999

]
=1+2×（-1+

1000000

）
=1+2×（1000-1）
=1999．
即S＜1999，
又∵S＞1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

1000000

=

2

1 + 1

+

2

2 + 2

+

2

3 + 3

+…+

2

1000000 + 1000000

＞

2

2 + 1

+

2

3 + 2

+

2

4 + 3

+…+

2

1000000 + 999999

=2×[（

2

-1）+（

3

-

2

）+（

4

-

3

）+…+（

1000000

-

999999

）]
=2×（-1+

1000000

）
=2×（1000-1）
=1998．
即s＞1998．
所以1998＜S＜1999．
所以S的整数部分1998．
故选B．

点评：本题考查放缩法、有理数域的解法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用放缩法进行求解．