Question

已知直线l₁为曲线y=x²+x-2在点（1，0）处的切线，l₂为该曲线的另一条切线，且l₁⊥l₂．
（Ⅰ）求直线l₂的方程；
（Ⅱ）求由直线l₁、l₂和x轴所围成的三角形的面积．

Answer 1

分析：（I）欲求直线l₂的方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合l₁⊥l₂即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）先通过解方程组得直线l₁和l₂的交点的坐标和l₁、l₂与x轴交点的坐标，最后根据三角形的面积公式教育处所求三角形的面积即可．

解答：解：（I）y′=2x+1．
直线l₁的方程为y=3x-3．
设直线l₂过曲线y=x²+x-2上的点B（b，b²+b-2），则l₂的方程为y-（b²+b-2）=（2b+1）（x-b）
因为l₁⊥l₂，则有k₂=2b+1=-

1

3

，b=-

2

3

．
所以直线l₂的方程为y=-

1

3

x-

22

9

．
（II）解方程组

y=3x-3 y=- 1 3 x- 22 9

得

x= 1 6 y=- 5 2 .

所以直线l₁和l₂的交点的坐标为(

1

6

，-

5

2

)．
l₁、l₂与x轴交点的坐标分别为（1，0）、(-

22

3

，0)．
所以所求三角形的面积S=

1

2

×

25

3

×|-

5

2

|=

125

12

．

点评：本小题主要考查导数的几何意义，两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力．本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．