Question

已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a＞0.
(1)求a的值；
(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)≤kx²成立，求实数k的最小值；

Answer 1

（1）a="1" （2）

试题分析：（1）首先确定函数的定义域，然后求导，利用导数，确定函数的单调区间和极小值，此处，极小值就是最小值，由于最小值为0，可建立关于a的方程，解之即可.（2）通过x=1验证k≤0不满足条件，所以k>0，构造函数g(x)＝f(x)－kx²，则g′(x)＝－2kx＝.分类讨论：k≥时，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，总有g(x)≤g(0)＝0，故k≥符合题意; 0＜k＜时，g(x)在内单调递增，x₀∈时，g(x₀)＞g(0)＝0，故0＜k＜不合题意．所以k的最小值为.
试题解析：.解：(1)f(x)的定义域为(－a，＋∞)．
f′(x)＝1－＝.2分
由f′(x)＝0，得x＝1－a＞－a.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(－a,1－a)	1－a	(1－a，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)	?	极小值	?

因此，f(x)在x＝1－a处取得最小值，
故由题意f(1－a)＝1－a＝0，所以a＝1.  5分
(2)当k≤0时，取x＝1，有f(1)＝1－ln2＞0，
故k≤0不合题意．                    6分
当k＞0时，令g(x)＝f(x)－kx²，
即g(x)＝x－ln(x＋1)－kx².
g′(x)＝－2kx＝.
令g′(x)＝0，得x₁＝0，x₂＝＞－1.  8分
①当k≥时，≤0，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上单调递减，从而对任意的x∈[0，＋∞)，总有g(x)≤g(0)＝0，即f(x)≤kx²在[0，＋∞)上恒成立，故k≥符合题意． 10分
②当0＜k＜时，＞0, 对于x∈，g′(x)＞0，故g(x)在内单调递增，因此当取x₀∈时，g(x₀)＞g(0)＝0，即f(x₀)≤kx₀²不成立，故0＜k＜不合题意．
综上，k的最小值为.    12分