Question

（2008•镇江一模）已知a为实数，函数f（x）=x²-2alnx．
（1）求f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a）；
（2）若a＞0，试证明：“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要条件是“a=

1

2

”．

Answer 1

分析：（1）求导函数，对a分类讨论，确定函数的单调性，即可求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a）；
（2）分必要性与充分性进行论证，正确构造函数g（x）=f（x）-2ax=x²-2alnx-2ax，将方程f（x）=2ax有唯一解，转化为g（x）=0有唯一解，即可得证．

解答：（1）解：求导函数，可得f′(x)=2•

x2-a

x

（x＞1）
①a≤1，x＞1，则f′（x）＞0，∴f（x）在[1，+∞）上是单调递增函数，∴f（x）_min=f（1）=1；
②a＞1，x＞1，令f′（x）=0，可得x=

a

当x∈(1，

a

)时，f′（x）＜0，函数在[1，+∞）上是单调递减函数；当x∈(

a

，+∞)时，f′（x）＞0，函数在[1，+∞）上是单调递增函数，
∴x=

a

时，f（x）_min=a-alna
∴g(a)=

1，a≤1 a-alna，a＞1

；
（2）证明：记g（x）=f（x）-2ax=x²-2alnx-2ax，则g′(x)=

2

x

(x2-ax-1) 
①充分性：若a=

1

2

，则g（x）=x²-lnx-x，g′(x)=

1

x

(2x+1)(x-1)
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上是单调递减函数；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上是单调递增函数，
∴当x=1时，g（x）_min=g（1）=0，即g（x）≥0，当且仅当x=1时取等号，
∴方程f（x）=2ax有唯一解；
②必要性：若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解，令g′（x）=0，可得x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，∴x1=

a+ a2+4a

2

（另一根舍去）
当x∈（0，x₁）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₁）上是单调递减函数；
当x∈（x₁，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₁，+∞）上是单调递增函数．
∴当x=x₂时，g′（x₁）=0，g（x）_min=g（x₁），∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₁）=0，
∴

g(x1)=0 g′(x1)=0

∴

x12-2alnx1-2ax1=0 x12-ax1-a=0

∴2alnx₁+ax₁-a=0
∵a＞0
∴2lnx₁+x₁-1=0
设函数h（x）=2lnx+x-1
∵x＞0时，h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解．
∵h（1）=0，∴方程2lnx₁+x₁-1=0的解为x₁=1，即x1=

a+ a2+4a

2

=1，∴a=

1

2

由①②知，“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要条件是“a=

1

2

”．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查充要性的证明，考查分类讨论是数学思想，难度大．