【答案】
分析:(Ⅰ)根据等差数列和等比数列的性质联立方程求得a
n+1=b
nb
n+1,进而求得a
n=b
n-1b
n,代入2b
n2=a
n+a
n+1,求得2b
n=b
n-1+b
n+1,判断出数列b
n是等差数列.
(Ⅱ)2b
n2=a
n+a
n+1求得b
1,根据(1)中的结论求得数列{b
n}的通项公式,进而根据a
n=b
n-1b
n,求得a
n.进而C
n的通项公式可得先看当q=1时,C
n=n,进而根据等差数列的求和公式求得前n项的和;再看q≠0时,应用错位相减法求得前n项的和.最后综合可得答案.
解答:解:(I)由题意知
,
又∵数列a
n、b
n各项都是正数,∴a
n+1=b
nb
n+1,则a
n=b
n-1b
n代入2b
n2=a
n+a
n+1,得2b
n2=b
n-1b
n+b
nb
n+1即2b
n=b
n-1+b
n+1,所以数列b
n是等差数列.
(II)∵a
1=2,a
2=6,又2b
n2=a
n+a
n+1,得2b
12=a
1+a
2=8,解得b
1=2
又∵a
2=b
1b
2=6∴b
2=3,由(I)知数列b
n是等差数列,则公差d=b
2-b
1=1
∴b
n=b
1+(n-1)d=2+n-1=n+1,
又a
n=b
n-1b
n,得a
n=n(n+1)=n
2+n,
∴
,
则当q=1时,c
n=n,此时
;
当q≠1时,S
n=c
1+c
2++c
n=1×q
2+2×q
3++nq
n+1,①
所以qS
n=qc
1+qc
2++qc
n=1×q
3+2×q
4++nq
n+2②
由①-②,得
,
即
综上可知,
点评:本题主要考查了数列的求和问题.考查了学生对等比数列和等差数列基础知识的掌握.