Question

（2013•静安区一模）已知直线（1-a）x+（a+1）y-4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数y=x+

1

x

的图象上，则PQ连线的斜率的取值范围是

[-3，+∞）

．

Answer 1

分析：直线方程即 x+y-4+a（-x+y-4）=0，由

x+y-4=0 -x+y-4=0

，求得定点P的坐标，设点Q（m，m+

1

m

），m≠0，则PQ连线的斜率为为

m+ 1 m -4

m-0

=(

1

m

-2)2-3，再利用二次函数的性质求得它的范围．

解答：解：已知直线（1-a）x+（a+1）y-4（a+1）=0即 x+y-4+a（-x+y-4）=0，
由 

x+y-4=0 -x+y-4=0

，解得

x=0 y=4

，故定点P的坐标为（0，4）．
设点Q（m，m+

1

m

），m≠0，则PQ连线的斜率为 

m+ 1 m -4

m-0

=1+

1

m2

-

4

m

=(

1

m

-2)2-3≥-3，
故PQ连线的斜率的取值范围为[-3，+∞），
故答案为[-3，+∞）．

点评：本题主要考查直线过定点问题，直线的斜率公式，二次函数的性质应用，属于中档题．