Question

如图，正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面边长为，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点.

(1)求证：平面B₁EF⊥平面BDD₁B；

(2)求点D₁到平面B₁EF的距离.

Answer 1

(1)证明：建立如题图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0),B(,,0),E(,,0),F(,,0),D₁(0,0,4),B₁(,,4).

=(,,0),=(,,0),=(0,0,4),

∴,.

∴EF⊥DB,EF⊥DD₁.∴EF⊥平面BDD₁B₁.

∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

(2)解：设平面B₁EF的法向量n=(x,y,z),则,.

又=(0,,4),∴n=-x+y=0,n=y+4z=0.

∴x=y,.取y=1,得n=(1,1,).

又=(,,0),∴点D₁到平面B₁EF的距离为.

启示：利用法向量知识求点到平面的距离，必须找这个平面过这点的斜线段(如本例D₁B₁).