Question

已知命题p：y=

1-a

x

在区间（0，+∞）上是减函数，命题q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4≥0的解集为空集，若p或q是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出命题p，q为真命题是的等价条件，然后利用p或q为真命题，求实数a的取值范围．

解答：解：要使y=

1-a

x

在区间（0，+∞）上是减函数，则1-a＞0，即a＜1．所以p：a＜1．
不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4≥0的解集为空集，
所以当a=2时，不等式等价为-4≥0，此时不成立，解集为空集，满足条件．
当a≠2时，要使不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4≥0的解集为空集，即不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0恒成立，
所以必有

a-2＜0 △=4(a-2)2+16(a-2)＜0

，即

a＜2 (a-2)(a+2)＜0

，
所以

a＜2 -2＜a＜2

，所以-2＜a＜2．
综上-2＜a≤2，即q：-2＜a≤2．
若p或q是真命题，则p，q至少有一个是真命题．
当p，q同时为假命题时，有

a≥1 a＞2或a≤-2

，
解得a＞2．
所以p，q至少有一个是真命题时，a≤2．
所以实数a的取值范围a≤2．

点评：本题主要考查复合命题的真假判断和应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题真假之间的关系．