【题目】已知椭圆: 的上下两个焦点分别为, ,过点与轴垂直的直线交椭圆于、两点, 的面积为,椭圆的离心力为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知为坐标原点,直线: 与轴交于点,与椭圆交于, 两个不同的点,若存在实数,使得,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) .
【解析】(Ⅰ)根据题目条件,由椭圆焦点坐标和对称性计算的面积,建立等式关系,结合关系式,离心率计算公式,问题可得解;(Ⅱ)由题意,可分直线是否过原点,对截距进行分类讨论,再利用椭圆对称性、向量共线、直线与椭圆有交点等性质、条件进行运算即可.
试题解析:(Ⅰ)根据已知椭圆的焦距为,当时, ,
由题意的面积为,
由已知得,∴,∴,
∴椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)若,则,由椭圆的对称性得,即,
∴能使成立.
若,由,得,
因为, , 共线,所以,解得.
设, ,由
得,
由已知得,即,
且, ,
由,得,即,∴,
∴,即.
当时, 不成立,∴,
∵,∴,即,
∴,解得或.
综上所述, 的取值范围为.
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【题目】某河道中过度滋长一种藻类,环保部门决定投入生物净化剂净化水体. 因技术原因,第t分钟内投放净化剂的路径长度 (单位:m),净化剂净化水体的宽度 (单位:m)是时间t(单位:分钟)的函数: (由单位时间投放的净化剂数量确定,设为常数,且).
(1)试写出投放净化剂的第t分钟内净化水体面积的表达式;
(2)求的最小值.
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【题目】已知集合A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m﹣4≤x≤3m+3}.
(1)若AB,求实数m的取值范围;
(2)若A∩B=B,求实数m的取值范围.
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【题目】已知对任意的n∈N* , 存在a,b∈R,使得1×(n2﹣12)+2×(n2﹣22)+3×(n2﹣32)+…+n(n2﹣n2)= (an2+b)
(1)求a,b的值;
(2)用数学归纳法证明上述恒等式.
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【题目】已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga(x+1), ,记F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函数F(x)的定义域D及其零点;
(2)试讨论函数F(x)在定义域D上的单调性;
(3)若关于x的方程F(x)﹣2m2+3m+5=0在区间[0,1)内仅有一解,求实数m的取值范围.
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【题目】f'(x)是函数f(x)的导函数,f'(x)是函数f'(x)的导函数.对于三次函数y=f(x),若方程f'(x0)=0,则点( )即为函数y=f(x)图象的对称中心.设函数f(x)= ,则f( )+f( )+f( )+…+f( )=( )
A.1008
B.2014
C.2015
D.2016
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【题目】二次函数f(x)的图象与x轴交于(﹣2,0),(4,0)两点,且顶点为(1,﹣ ).
(1)求f(x)的函数解析式;
(2)指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(3)分析函数的单调性,求函数的最大值或最小值.
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