Question

13．已知a，b是实数，函数f（x）=x|x-a|+b．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在a∈[-3，5]，使得函数f（x）在[-4，5]上恒有三个零点，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简可得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x+b，x≥2\\-{x^2}+2x+b，x＜2\end{array}\right.$，从而结合二次函数的单调性判断分段函数的单调性即可；
（2）原命题可化为存在a∈[-3，5]，使得b=-x|x-a|有三个不同的实根；再令$g（x）=-x|{x-a}|=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+ax，x≥a\\{x^2}-ax，x＜a\end{array}\right.$，从而分类讨论以确定g（x）的单调性，从而确定函数的极值及端点的函数值，从而比较求b的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x+b，x≥2\\-{x^2}+2x+b，x＜2\end{array}\right.$，
由二次函数的单调性知，
f（x）在（-∞，1]上单调递增，在（1，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增．
（2）若存在a∈[-3，5]，使得函数f（x）在[-4，5]上恒有三个零点，
则存在a∈[-3，5]，使得b=-x|x-a|有三个不同的实根；
令$g（x）=-x|{x-a}|=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+ax，x≥a\\{x^2}-ax，x＜a\end{array}\right.$，
（ⅰ）当a=0时，g（x）在[-4，5]上单调递减，故b无解；
（ⅱ）当-3≤a＜0时，g（x）在（-∞，a）上单调递减，在$[{a，\frac{a}{2}}]$上单调递增，在$（{\frac{a}{2}，+∞}）$上单调递减，
∵g（-4）=4|4+a|=16+4a，g（a）=0，$g（\frac{a}{2}）=\frac{a^2}{4}$，g（5）=5a-25，
∴$g（-4）-g（\frac{a}{2}）=\frac{{-{{（a-8）}^2}+128}}{4}＞0$，g（a）-g（5）=25-5a＞0，
∴$0＜b＜\frac{a^2}{4}$，
∴$0＜b＜\frac{9}{4}$；
（ⅲ）当0＜a≤5时，g（x）在$（{-∞，\frac{a}{2}}）$上单调递减，在$[{\frac{a}{2}，a}）$上单调递增，在[a，+∞）上单调递减，
∵g（-4）=4|4+a|=16+4a，$g（\frac{a}{2}）=-\frac{a^2}{4}$，g（a）=0，g（5）=5a-25∴g（-4）-g（a）=16+4a＞0，
令g（$\frac{a}{2}$）-g（5）=$\frac{-（a+10）^{2}+200}{4}$=0，解得，a=10$\sqrt{2}$-10；
①当$0＜a≤10\sqrt{2}-10$时，
$-\frac{a^2}{4}＜b＜0$，∴$50\sqrt{2}-75＜b＜0$；
②当$10\sqrt{2}-10＜a≤5$时，
5a-25≤b＜0，∴$50\sqrt{2}-75≤b＜0$；
综上可得，
b的取值范围为50$\sqrt{2}$-75≤b＜$\frac{9}{4}$且b≠0．

点评 本题考查了分段函数的应用及二次函数的单调性的应用，同时考查了分类讨论的思想应用．