Question

【题目】已知函数f（x）=x3 （1﹣a）x2﹣3ax+1，a＞0．
（1）试讨论f（x）（x≥0）的单调性；
（2）证明：对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有﹣1≤f（x）≤1；
（3）设（1）中的p的最大值为g（a），求g（a）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于f'（x）=3x2+3（1﹣a）x﹣3a=3（x+1）（x﹣a），且a＞0，

故f（x）在[0，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增．

（2）证明：因为 ．

当f（a）≥﹣1时，取p=a．此时，当x∈[0，p]时，有﹣1≤f（x）≤1成立．

当f（a）＜﹣1时，由于f（0）+1=2＞0，f（a）+1＜0，

故存在p∈（0，a）使得f（p）+1=0．

此时，当x∈[0，p]时，有﹣1≤f（x）≤1成立．

综上，对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有﹣1≤f（x）≤1．

（3）由（2）知f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（a）．

当0＜a≤1时，f（a）≥﹣1，则g（a）是方程f（p）=1满足p＞a的实根，

即 2p2+3（1﹣a）p﹣6a=0满足p＞a的实根，

所以 ．

又g（a）在（0，1]上单调递增，故 ．

当a＞1时，f（a）＜﹣1，由于 ，

故[0，p][0，1]．此时，g（a）≤1．

综上所述，g（a）的最大值为 ．

【解析】（1）对函数进行求导，分析导函数的符号即可得出函数的单调性；（2）写出的表达式，当时，取,此时，当时，有成立，当时，推出,,即可证明对于正数,存在正数,使得当时，有;（3）在上的最小值为,通过当时，求解函数的最值，当时，说明,可得到最大值为