Question

【题目】已知函数

（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数的值；

（2）试讨论函数在区间上最大值；

（3）若时，函数恰有两个零点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）n=6（2）见解析（3）见解析

【解析】

(1)利用导数的几何意义求n的值.(2)对n分类讨论，利用导数求函数在区间上最大值.(3)先求出的关系，再换元t=＞1得到，再求最小值大于零即可.

（1）由f′（x）=，，

由于函数f（x）在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y=0平行，

故，解得n=6

（2）f′（x）=，（x＞0），

由f′（x）＜0时，x＞n；f′（x）＞0时，x＜n，

所以①当n≤1时，f（x）在[1，+∞）上单调递减，

故f（x）在[1，+∞）上的最大值为f（1）=m﹣n；

②当n＞1，f（x）在[1，n）上单调递增，在（n，+∞）上单调递减，

故f（x）在[1，+∞）上的最大值为f（n）=m﹣1﹣lnn；

（3）证明：n=1时，f（x）恰有两个零点x1，x2，（0＜x1＜x2），

由，f（x2）=，得，

∴，

设t=＞1，lnt=，x1=，故x1+x2=x1（t+1）=，

∴，

记函数，因，

∴h（t）在（1，+∞）递增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，

又lnt＞0，故x1+x2＞2成立