Question

已知二次函数f（x）满足：f（-1）=0，且8x≤f（x）≤4（x²+1）对于x∈R恒成立．
（Ⅰ）求f（1）及f（x）的表达式；
（Ⅱ）设g(x)=

x2-1

f(x)

，定义域为D，现给出一个数学运算：x₁→x₂=g（x₁）→x₃=g（x₂）→…→x_n=g（x_n-1），若x_n∈D，则运算继续下去；若x_n∉D，则运算停止给出x1=

7

3

，请你写出满足上述条件的集合D={x₁，x₂，x₃，…x_n}．

Answer 1

分析：（I）令x=1，可得f（1）的值，然后根据f（-1）=0与f（1）的值可求得b以及a与c的等量关系，最后根据ax²+bx+c≥8x恒成立，可求出a、b、c的值，从而求出所求；
（II）将x₁代入g(x)=

x2-1

f(x)

，可求出x₂，依此类推，当x_n∉D，则运算停止，从而得到满足上述条件的集合D={x₁，x₂，x₃，…x_n}．

解答：解：（Ⅰ）由8x≤f（x）≤4（x²+1），令x=1，得8≤f（1）≤8，∴f（1）=8
设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（1）=8及f（-1）=0得

a+b+c=8 a-b+c=0

⇒b=4，a+c=4
又ax²+bx+c≥8x，即ax²-4x+4-a≥0对x∈R恒成立∴

a＞0， △=16-4ac≤0

，即（a-2）²≤0，
∴a=2，c=2，
故f（x）=2（x+1）²…（6分）
（Ⅱ）由g(x)=

x2-1

f(x)

=

x-1

2(x+1)

=

1

2

-

1

x+1

，由题意x1=

7

3

，x2=g(x1)=

1

5

，x3=g(x2)=-

1

3

，x4=g(x3)=-1，x5无意义，
故D={

7

3

，

1

5

，-

1

3

，-1}．…（12分）

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数求值，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．