Question

已知a＞0，函数f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

，g(x)=-ax+1
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在（-1，1）上的极值；
（Ⅲ）若在区间[-

1

2

，

1

2

]上至少存在一个实数x₀，使f（x₀）≥g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a代入函数解析时候，求出f（1）及f^′（1），利用直线方程的点斜式可求切线方程；
（Ⅱ）把原函数求导，得到导函数后求出导函数的零点，对a进行分类讨论得原函数在不同区间上的单调性，从而求出函数f（x）在（-1，1）上的极值；
（Ⅲ）利用函数的导函数求出函数f（x）与g（x）的差函数在[-

1

2

，

1

2

]上的最大值，把在区间[-

1

2

，

1

2

]上至少存在一个实数x₀，使f（x₀）≥g（x₀）成立，转化为两个函数f（x）与g（x）的差函数在[-

1

2

，

1

2

]上的最大值大于等于0，然后列式可求a的范围．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

，得：f^′（x）=a²x²-2ax．
当a=1时，f(x)=

1

3

x3-x2+

2

3

，此时f^′（1）=-1，f(1)=

1

3

-1+

2

3

=0．
所以，f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-1×（x-1），即x+y-1=0；
（Ⅱ）由f^′（x）=a²x²-2ax=0得：x=0，或x=

2

a

，
当0＜

2

a

＜1，即a＞2时，因为x∈（-1，1），
由f^′（x）＞0⇒-1＜x＜0或

2

a

＜x＜1．
由f^′（x）＜0⇒0＜x＜

2

a

．
所以f（x）在（-1，0]上递增，在（0，

2

a

]上递减，在(

2

a

，1)上递增．
故在（-1，1）上，f(x)极大值=f(0)=

2

3

，f(x)极小值=f(

2

a

)=

2a-4

3a

．
当

2

a

≥1，即0＜a≤2时，f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，1）上递减
故在（-1，1）上，f(x)极大值=f(0)=

2

3

，无极小值；
（Ⅲ）设F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

a2x3-ax2+ax-

1

3

，x∈[-

1

2

，

1

2

]．
则F^′（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x）．
因为x∈[-

1

2

，

1

2

]，a＞0，所以F^′（x）＞0．
故F（x）在区间[-

1

2

，

1

2

]上为增函数．
所以F(x)max=F(

1

2

)，
若在区间[-

1

2

，

1

2

]上至少存在一个实数x₀，使f（x₀）≥g（x₀）成立，所以需F（x）_max≥0．
即

1

3

a2×

1

8

-a×

1

4

+a×

1

2

-

1

3

≥0，
所以a²+6a-8≥0．
解得：a≤-3-

17

或a≥-3+

17

．
因为a＞0，所以a的取值范围是[-3+

17

，+∞）．

点评：本题考查了利用函数的导函数求曲线上点的切线方程的方法，考查了利用导函数求闭区间上的最值，考查了数学转化思想，解答此题的关键是把在区间[-

1

2

，

1

2

]上至少存在一个实数x₀，使f（x₀）≥g（x₀）成立，转化为两个函数f（x）与g（x）的差函数在[-

1

2

，

1

2

]上的最大值大于等于0，该转化理解起来有一定难度．