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已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,对定义域中的任意x,等式f(kx)=数学公式+f(x)恒成立.
(1)判断一次函数f(x)=ax+b(a≠0)是否属于集合M;
(2)证明函数f(x)=log2x属于集合M,并找出一个常数k;
(3)已知函数f(x)=logax( a>1)与y=x的图象有公共点,证明f(x)=logax∈M.

解:(1)若f(x)=ax+b∈M,则存在非零常数k,对任意x∈D均有f(kx)=akx+b=+f(x),
即a(k-1)x=恒成立,得无解,所以f(x)∉M.
(2)log2(kx)=+log2x,则log2k=,k=4,k=2时等式恒成立,
所以f(x)=log2x∈M.
(3)因为y=logax( a>1)与y=x有交点,由图象知,y=logax与y=必有交点.
设logak=,则f(kx)=loga(kx)=logak+logax=+f(x),
所以f(x)∈M.
分析:(1)假设g(x)∈M,即:存在k≠0,使g(kx)=+g(x)得出a(k-1)x=恒成立,与假设矛盾,从而得出结论;
(2)由于当log2(kx)=+log2x成立时,等价于log2k=,此式显然当k=4时此式成立,可见,存在非零常数k=4,使g(kx)=+g(x),从而得出答案.
(3)因为y=logax( a>1)与y=x有交点,由图象知,y=logax与y=必有交点.从而存在k,f(kx)=loga(kx)=logak+logax=+f(x),成立.
点评:本小题主要考查元素与集合关系的判断、对数的运算法则、对数函数的性质、方程式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于基础题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:在定义域内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.
(1)函数f(x)=
1
x
是否属于集合M?说明理由;
(2)设函数f(x)=lg
a
x2+1
∈M
,求a的取值范围;
(3)设函数y=2x图象与函数y=-x的图象有交点,证明:函数f(x)=2x+x2∈M.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=T•f(x)成立.
(1)函数f(x)=x是否属于集合M?说明理由;
(2)设函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象与y=x的图象有公共点,证明:f(x)=ax∈M;
(3)若函数f(x)=sinkx∈M,求实数k的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,对定义域中的任意x,等式f(kx)=
k2
+f(x)恒成立.
(1)判断一次函数f(x)=ax+b(a≠0)是否属于集合M;
(2)证明函数f(x)=log2x属于集合M,并找出一个常数k;
(3)已知函数f(x)=logax( a>1)与y=x的图象有公共点,证明f(x)=logax∈M.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合M是满足下列条件的函数f(x)的全体;
①当x∈[0,+∞)时,函数值为非负实数;
②对于任意的s、t∈x[0,+∞),λ>0,都有
f(x)+λf(t)
1+λ
≤f(
s+λt
1+λ
)

在三个函数f1(x)=x-1,f2(x)=2x-1f3(x)=ln
x+1
中,属于集合M的是
f3(x)
f3(x)
(写出您认为正确的所有函数.)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•嘉定区三模)已知集合M是满足下列两个条件的函数f(x)的全体:①f(x)在定义域上是单调函数;②在f(x)的定义域内存在闭区间[a,b],使f(x)在[a,b]上的值域为[
a
2
 , 
b
2
]
.若函数g(x)=
x-1
+m
,g(x)∈M,则实数m的取值范围是
(0 , 
1
2
]
(0 , 
1
2
]

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