Question

6．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且与斜率为正数的渐近线垂直的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$]
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （$\sqrt{2}$，+∞）
• D． [$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 双曲线的离心率与渐近线的斜率有关，只有b=a或b＞a时，直线与双曲线的右支有且只有一个交点，由此能求出双曲线离心率的范围．

解答 解：双曲线的离心率与渐近线的斜率有关，
当b＜a时，即该渐近线倾斜角小于45°时，交点在同一右支上，
当a=b时，该渐近线倾斜角等于45°时，
该渐近线的垂线与另一条渐近线平行，与双曲线的右支有且只有一个交点，双曲线离心率e=$\sqrt{2}$
当b＞a时，即该渐近线倾斜角大于45°时，与双曲线左右支相交，
∴双曲线离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$＞$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意双曲线的渐近线的斜率的灵活运用．