Question

（2013•昌平区一模）已知函数f（x）=

1

3

x³-a2x+

1

2

a（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在[0，2]上的最大值；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=1时写出f（x），求出f′（x），解方程f′（x）=0，列出当x变化时f′（x）、f（x）的变化表，由表格可得函数在[0，2]上的最大值；
（Ⅱ）对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，等价于f（x）_min＞0，分a＜0，a=0，a＞0三种情况进行讨论，利用导数即可求得f（x）在（0，+∞）上的最小值，然后解不等式f（x）_min＞0可得a的范围；

解答：解：（I）当a=1时，f（x）=

1

3

x3-x+

1

2

，f′（x）=x²-1，
令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=1，
列表：

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）	-1	-	0	+	3
f（x）	1 2	↘	- 1 6	↗	7 6

∴当x∈[0，2]时，f（x）最大值为f（2）=

7

6

．
（Ⅱ）f′（x）=x²-a²=（x-a）（x+a），令f′（x）=0，得x₁=-a，x₂=a，
①若a＜0，在（0，-a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（-a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以，f（x）在x=-a时取得最小值f（-a）=-

1

3

a3+a3+

a

2

=a（

2

3

a2+

1

2

），
因为a＜0，

2

3

a2+

1

2

＞0，所以f（-a）=a（

2

3

a2+

1

2

）＜0．
所以当a＜0时，对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0不成立；
②若a=0，f′（x）=x²≥0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以当a=0时，有f（x）＞f（0）=0；
③若a＞0，在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以，f（x）在x=a时取得最小值f（a）=

1

3

a3-a3+

a

2

=-a（

2

3

a2-

1

2

），
令f（a）=-a（

2

3

a2-

1

2

）＞0，由a＞0，得

2

3

a2-

1

2

＜0，0＜a＜

3

2

，
 所以当0＜a＜

3

2

时，对任意x＞0，f（x）＞0都成立．
综上，a的取值范围是[0，

3

2

]．

点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值、函数恒成立，函数恒成立问题常转化为函数的最值解决，体现了转化思想．