【题目】已知椭圆的短轴长为,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设椭圆的左,右焦点分别为,左,右顶点分别为,,点,,为椭圆上位于轴上方的两点,且,直线的斜率为,记直线,的斜率分别为,,求的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)0.
【解析】
(Ⅰ)由题意,得2b,,结合隐含条件即可求得a,b的值,则椭圆方程可求;(Ⅱ)由(Ⅰ),可知A(﹣3,0),B(3,0),F1(﹣1,0),求得F1M的方程为,记直线F1M与椭圆的另一交点为M′,设M(x1,y1)(y1>0),M′(x2,y2),得N(﹣x2,﹣y2),联立直线方程与椭圆方程,求得M,N的坐标,代入斜率公式求解.
(Ⅰ)由题意,得,.
又,∴,,.
∴椭圆C的标准方程为.
(Ⅱ)
由(Ⅰ),可知,,.
据题意,直线的方程为.
记直线与椭圆的另一交点为,设,.
∵,根据对称性,得.
联立,消去,得.
∵,∴,.
∵,,
∴,即的值为0.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,并使得它与直角坐标系有相同的长度单位,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)设曲线与直线交于、两点,且点的坐标为,求的值.
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【题目】已知椭圆的离心率为,M是椭圆C的上顶点,,F2是椭圆C的焦点,的周长是6.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)过动点P(1,t)作直线交椭圆C于A,B两点,且|PA|=|PB|,过P作直线l,使l与直线AB垂直,证明:直线l恒过定点,并求此定点的坐标.
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【题目】已知过定点且与直线垂直的直线与轴、轴分别交于点,点满足.
(1)若以原点为圆心的圆与有唯一公共点,求圆的轨迹方程;
(2)求能覆盖的最小圆的面积;
(3)在(1)的条件下,点在直线上,圆上总存在两个不同的点使得为坐标原点),求的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,倾斜角),曲线C的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)写出曲线的普通方程和直线的极坐标方程;
(2)若直线与曲线恰有一个公共点,求点的极坐标。
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【题目】已知抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M是直线y=x与抛物线E在第一象限内的交点,且|MF|=5.
(1)求抛物E的方程.
(2)直线l与抛物线E相交于两点A,B,过点A,B分别作AA1⊥x轴于A1,BB1⊥x轴于B1,原点O到直线l的距离为1.求的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知圆经过,,三点,是线段上的动点,,是过点且互相垂直的两条直线,其中交轴于点,交圆于、两点.
(1)若,求直线的方程;
(2)若是使恒成立的最小正整数.
①求的值;
②求三角形的面积的最小值.
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【题目】已知椭圆的离心率为,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成的三角形的面积为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线与圆相切,并与椭圆交于不同的两点和,若为坐标原点),求线段长度的取值范围.
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