Question

某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与（a-x）•x²成正比；②当x=

a

2

时，y=a³，并且技术改造投入满足

x

2(a-x)

∈(0，t]，其中t为常数且t∈（1，2]．则函数y=f（x）表达式为

f（x）=8（a-x）x²

，定义域

(0，

2at

2t+1

]

．

Answer 1

分析：根据条件：①y与（a-x）•x²成正比，可设正比例函数y=k（a-x）•x²；由当x=

a

2

时，y=a³，可求k=8，从而得到函数的解析式，利用

x

2(a-x)

∈(0，t]，可求函数的定义域．

解答：解：由题意，设y=k（a-x）•x²
∵当x=

a

2

时，y=a³，∴k=8，∴y=8（a-x）•x²
∵

x

2(a-x)

∈(0，t]，∴x∈(0，

2at

2t+1

]
故答案为f（x）=8（a-x）x²； (0，

2at

2t+1

]．

点评：本题的考点是根据实际问题选择函数类型，主要考查函数模型的构建，关键是假设正比例函数，利用待定系数法求解析式，应注意实际问题的意义，确定函数的定义域．