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已知函数f(x)=log
1
2
2-ax
x-1
(a是常数).
(1)若常数a<2且a≠0,求f(x)的定义域;
(2)若常数0<a<2,且知f(x)在区间(2,4)上是增函数,试求a的取值范围.
分析:(1)根据对数函数的性质,我们根据对数函数的真数部分大于0,可以构造分式不等式
2-ax
x-1
>0
,进而根据常数a<2且a≠0,及分式不等式的解法,分a<0时和0<a<2时两种情况分类讨论,即可得到答案;
(2)由已知中f(x)在区间(2,4)上是增函数,根据复合函数单调性的确定原则,我们易判断出u=
2-ax
x-1
=-a+
2-a
x-1
在(2,4)上是减函数,结合(1)中结论,我们易构造出关于a的不等式组,解不等式组即可得到a的取值范围.
解答:解:(1)由
2-ax
x-1
>0
可知,
①当a<0时,
2-ax
x-1
>0
得:
x<
2
a
,或x>1
∴函数的定义域为(-∞,
2
a
)∪(1,+∞)

②当0<a<2时,
2-ax
x-1
>0
得:
1<x<
2
a

∴函数的定义域为(1,
2
a
)

(2)令u=
2-ax
x-1

f(x)=log
1
2
u
减函数,
u=
2-ax
x-1
=-a+
2-a
x-1
在(2,4)上是减函数,
则:
2-a>0
umin=
2-4a
4-1
≥0
0<a<2
⇒0<a≤
1
2

故a的取值范围为(0,
1
2
]
点评:本题考查的知识点是对数函数的定义域,分式不等式的解法,函数单调性的判断与证明,对数函数的单调性,其中(1)的关键是根据对数函数的真数部分大于0,构造分式不等式
2-ax
x-1
>0
,(2)的关键是根据复合函数单调性的确定原则,得到u=
2-ax
x-1
=-a+
2-a
x-1
在(2,4)上是减函数,进而构造出关于a的不等式组.本题(2)易忽略对数的真数大于0的同,而错解为0<a<2.
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1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

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f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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1
2
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1
e
,e]
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12
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13
x3+x2+ax

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已知函数f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b为实数,x∈R,a∈R.
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