Question

（2012•山东）设函数f(x)=

1

x

，g（x）=-x²+bx．若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则下列判断正确的是（　　）

A．x₁+x₂＞0，y₁+y₂＞0

B．x₁+x₂＞0，y₁+y₂＜0

C．x₁+x₂＜0，y₁+y₂＞0

D．x₁+x₂＜0，y₁+y₂＜0

Answer 1

分析：构造函数设F（x）=x³-bx²+1，则方程F（x）=0与f（x）=g（x）同解，可知其有且仅有两个不同零点x₁，x₂．利用函数与导数知识求解．

解答：解：设F（x）=x³-bx²+1，则方程F（x）=0与f（x）=g（x）同解，故其有且仅有两个不同零点x₁，x₂．
由F'（x）=0得x=0或x=

2

3

b．这样，必须且只须F（0）=0或F(

2

3

b)=0，
因为F（0）=1，故必有F(

2

3

b)=0由此得b=

3

2

3	2

．不妨设x₁＜x₂，则x2=

2

3

b=

3	2

．所以F(x)=(x-x1)(x-

3	2

)2，
比较系数得-x1

3	4

=1，故x1=-

1

2

3	2

.x1+x2=

1

2

3	2

＞0，
由此知y1+y2=

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

＜0，
故选B．

点评：本题考查的是函数图象，但若直接利用图象其实不易判断，为此利用了构造函数的方法，利用函数与导数知识求解．要求具有转化、分析解决问题的能力．题目立意较高，很好的考查能力．