Question

【题目】已知函数f（x）=4x﹣22x+1﹣6，其中x∈[0，3]．
（1）求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）若实数a满足：f（x）﹣a≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）∵f（x）=4x﹣22x+1﹣6（0≤x≤3）
∴f（x）=（2x）2﹣42x﹣6（0≤x≤3）
令t=2x ，
∵0≤x≤3，
∴1≤t≤8．
令h（t）=t2﹣4t﹣6=（t﹣2）2﹣10（1≤t≤8）
当t∈[1，2]时，h（t）是减函数；当t∈[2，8]时，h（t）是增函数．
∴f（x）min=h（2）=﹣10，f（x）max=h（8）=26
（2）∵f（x）﹣a≥0恒成立，即a≤f（x）恒成立．
∴a≤f（x）min恒成立．
由（1）知f（x）min=﹣10，
∴a≤﹣10．
故a的取值范围为（﹣∞，﹣10]
【解析】（1）由题意可得，f（x）=（2x）2﹣42x﹣6（0≤x≤3），令t=2x ， 从而可转化为二次函数在区间[1，8]上的最值的求解
（2）由题意可得，a≤f（x）恒成立a≤f（x）min恒成立，结合（1）可求