Question

椭圆E：的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2，过F₁作垂直于椭圆长轴的弦|PQ|，其长度为3．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过F₁的直线l交椭圆于A，B两点．判断是否存在直线l使得∠AF₂B为钝角，若存在，求出l的斜率k的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，解得a²=4，b²=3，
∴椭圆的方程为：．
（Ⅱ）（i）当过F₁直线AB的斜率不存在时，点，
则，显然∠AF₂B不为钝角．
（ii）当过F₁直线AB的斜率存在时，设斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0．△＞0恒成立．
，
∴
=，
当∠AF₂B为钝角时，＜0，所以，
综上所述，满足条件的直线斜率k满足．
分析：（Ⅰ）由焦距为2可求得c值，由弦长|PQ|为3可得=，再由a²=b²+c²即可求得a，b；
（Ⅱ）分情况进行讨论：（i）当过F₁直线AB的斜率不存在时易作出判断；（ii）当过F₁直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x+1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当∠AF₂B为钝角时，＜0，利用韦达定理可把该不等式转化为关于k的不等式，若有解则存在，否则不存在；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生的探究能力、分析解决问题的能力，对于存在性问题往往先假设存在，以此为基础进行推导．